CONTEO

Conteo

Regla de la suma

Si una primera tarea puede realizarse de m formas y una segunda tarea puede realizarse de n formas, y no es posible realizar ambas tareas de manera simultánea, entonces para realizar cualquiera de ellas pueden utilizarse cualquiera de m + n formas.

Ejemplo

Una biblioteca tiene 40 libros de historia y 50 de filosofía. Si un estudiante quiere aprender acerca de alguno de estos dos temas, por la regla de la suma puede elegir entre 40 + 50 = 90 libros.
(Nota: el estudiante no quiere estudiar historia y filosofía, sino historia o filosofía.)

La regla puede ampliarse a más de dos tareas, siempre que ningún par de ellas pueda ocurrir simultáneamente.

Regla del producto

Si un procedimiento se puede descomponer en dos etapas y si existen m resultados posibles de la primera etapa, y para cada uno de estos resultados, existen n resultados posibles para la segunda etapa, entonces el procedimiento total se puede realizar, en el orden dado, de m.n formas.

Ejemplos

  1. Para una obra de teatro hay 6 hombres y 8 mujeres que aspiran a los papeles principales. El director puede elegir a la pareja principal de 6.8 = 48 formas.Esta regla también puede ampliarse a más de dos etapas.
  2. Si las placas de los automóviles constan de 2 letras seguidas de 4 dígitos, y ninguna letra o dígito se puede repetir, ¿cuántas placas diferentes son posibles? 27.26.10.9.8.7 = 3.538.080.
    Si se pueden repetir las letras y los dígitos, serán posibles 27.27.10.10.10.10 = 7.290.000 placas diferentes.

Definición

Factorial

Para un natural n, se define n! (n factorial) como:
0! = 1
n! = n(n-1)(n-2)…3.2.1 para n >= 1

Notar que n! = n(n-1)!

Definición

Permutación

Dado un conjunto de n elementos, se denomina permutación a cada uno de los conjuntos que se pueden formar con estos elementos tales que cada uno de ellos difiere de otro en el orden en que son considerados los elementos.
Dicho de otro modo, dada una colección de n objetos distintos, cualquier disposición lineal de estos objetos se denomina permutación de la colección.

Pongamos un ejemplo: un grupo de 5 personas va a sentarse en fila para una foto. ¿Cuántas disposiciones lineales son posibles?

   5       4       3       2      1
------  ------  ------  ------  ------
1a pos  2a pos  3a pos  4a pos  5a pos

Cualquiera de las 5 personas puede ocupar la primera posición de la fila. Para la segunda posición podemos elegir entre 4 personas. Continuando de esta manera, sólo tenemos una persona para ocupar la quinta posición. Esto produce un total de 5.4.3.2.1 = 120 disposiciones posibles de las 5 personas. Se obtiene exactamente la misma respuesta si las posiciones se ocupan en otro orden (por ejemplo, 3ª posición, 1ª posición, 4ª, 5ª y 2ª).

En general, si existen n objetos distintos, el número de permutaciones para los n objetos es

n(n-1)(n-2)...1 = n!
|  |    |     |
|  |    |     n-ésima pos 
|  |    3ª pos 
|  2ª pos 
1ª pos

Pn = n!

Se lee “permutaciones de n”.

Ejemplo

Dadas las letras a, b, c existen seis formas de disponerlas: P3 = 3! = 3.2.1 = 6.
Las seis permutaciones son:
a b c
a c b
b a c
b c a
c a b
c b a

Definición

Arreglos

Dado un conjunto de n elementos, se denomina arreglos de tamaño r a todos los conjuntos de r elementos escogidos de entre los n, tales que un conjunto difiere de otro en al menos un elemento o en el orden en que se consideran los elementos.

Consideremos el ejemplo siguiente: en un grupo de 10 personas, se elegirá a 5 y se les ubicará en fila para una foto. ¿Cuántas disposiciones son posibles?

  10       9       8       7      6
------  ------  ------  ------  ------
1a pos  2a pos  3a pos  4a pos  5a pos

Cualquiera de las 10 personas puede ocupar la primera posición de la fila. Para ocupar la segunda posición tenemos 9 personas. Siguiendo de esta manera, hay 6 personas de donde elegir para que ocupen la quinta posición. Esto produce 10.9.8.7.6 = 10.240 disposiciones posibles.

En general, si existen n objetos distintos, y r es un entero, con 0 <= r <= n, entonces el número de arreglos de tamaño r para los n objetos es

                          n!   
n(n-1)(n-2)...(n-r+1) = ------
|  |    |     |         (n-r)! 
|  |    |     r-ésima pos
|  |    3ª pos
|  2ª pos 
1ª pos
  n      n! 
 Ar  = ------ 
       (n-r)!

Se lee “arreglos de n en r”.

Ejemplo

Dadas las letras a, b, c podemos formar 6 arreglos de tamaño 2.

 3     3!   3.2.1
A2  = --- = ----- = 6
       1!     1

Los 6 arreglos son:
a b
b a
a c
c a
b c
c b

Definición

Combinaciones

Dado un conjunto de n elementos, se denomina combinaciones de tamaño r a todos los conjuntos que se pueden formar con r elementos tomados de entre los n elementos, de modo que cada conjunto difiera de los demás en por lo menos un elemento.

Siguiendo con el mismo ejemplo, si en un grupo de 10 personas se elegirá a 5 para tomarles una foto, ¿cuántos grupos de 5 pueden formarse, si el orden no importa?

Si el orden importara, habría A105 disposiciones diferentes. Pero en este caso no interesa el orden, así que si una de las posibilidades es Juan, María, Luis, Ana y Pedro, entonces la permutación Luis, Pedro, María, Ana y Juan corresponde a la misma combinación. Cada grupo de 5 personas puede ordenarse de 5! formas diferentes. Así, cada combinación corresponde a 5! permutaciones. Por lo tanto, el número de combinaciones satisface P5.(nº de combinaciones) = A105
o sea que el número de combinaciones es igual a

  10
 A5
---- = 252
 P5

En general, dados n objetos distintos, el número de combinaciones de tamaño r de estos objetos, con 0 <= r <= n, se denota Cnr y corresponde a

        n  
  n    Ar       n!
 Cr = ---- = -------- 
       Pr    r!(n-r)!

Se lee “combinaciones de n en r”.

Ejemplo

Dadas las letras a, b, c existen 3 combinaciones de tamaño 2.

 3    3!
C2 = ---- = 3
     2!1!

Las 3 combinaciones son:
a b
a c
b c

Combinaciones complementarias

  n    n 
 Cr = Cn-r

Demostración:

 n            n!             n!       n
Cn-r = ---------------- = -------- = Cr 
       (n-r)!(n-(n-r))!   (n-r)!r!

Ejemplo

Resolver la siguiente ecuación:

 10     10      
Cx+2 = C3x

Hay dos posibilidades:

  • que las combinaciones sean idénticas, es decir que x+2 = 3x => 2x = 2 => x = 1.
  • O que sean combinaciones complementarias, en cuyo caso x + 2 + 3x = 10, o sea 4x = 8, o sea x = 2.

Teorema de Stieffel

  n    n      n+1 
 Cr + Cr-1 = Cr

Demostración:

 n      n       n!         n!        n!(r-1)!(n-r+1)! + n!r!(n-r)!
Cr + Cr-1 = ------- + ------------ = -----------------------------
            r!(n-r)! (r-1)!(n-r+1)!    r!(n-r)!(r-1)!(n-r+1)!

  n!(r-1)!(n-r)!(n-r+1+r)!    n!(n+1)      (n+1)!     n+1
= ------------------------ = --------- = --------- = Cr
|  r!(n-r)!(r-1)!(n-r+1)!    r!(n-r+1)   r!(n+1-r)
|
sacamos factores comunes: n!(r-1)!(n-r)!

Ejemplo

Hallar m en la siguiente ecuación:

 6      6      7
Cm-1 + Cm-2 = C2

 7      7
Cm-1 = C2

=>  m - 1 = 2 => m = 3
    m - 1 + 2 = 7 => m = 6

Tanto m=3 como m=6 son solución de la ecuación.

 

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